Logarytmy bez stresu, czyli pięć rzeczy, które trzeba wiedzieć na maturę

Logarytmy straszą głównie zapisem. Gdy zrozumiesz, o co w nich pytamy, większość zadań maturalnych z tego działu rozwiązuje się w dwóch, trzech linijkach.

1. Logarytm to pytanie o wykładnik

Zapis $\log_{a}b=c$ znaczy dokładnie to samo co $a^{c}=b$. Logarytm odpowiada na pytanie: do jakiej potęgi trzeba podnieść $a$, żeby dostać $b$?

Przykład: $\log_{2}32=5$, bo $2^{5}=32$. A $\log_{3}\frac{1}{9}=-2$, bo $3^{-2}=\frac{1}{9}$.

Najwięcej zadań rozwiązuje się właśnie tak: zapisz liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy.

2. Kiedy logarytm istnieje

Podstawa musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana dodatnia:

$$a>0,\quad a\neq 1,\quad b>0$$

Na maturze to warunek, o którym łatwo zapomnieć, gdy szukasz podstawy logarytmu z równania. Jeśli wyjdzie ci $a=-3$, odrzuć ten wynik.

3. Trzy wzory, które wystarczą

• logarytm iloczynu: $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$,
• logarytm ilorazu: $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$,
• logarytm potęgi: $\log_{a}x^{k}=k\log_{a}x$.

Przykład: $\log_{6}4+\log_{6}9=\log_{6}36=2$. Osobno żaden z tych logarytmów nie jest „ładną” liczbą, razem dają wynik od ręki.

4. Typowe pułapki

• Logarytm sumy to nie suma logarytmów. $\log_{2}(4+4)=\log_{2}8=3$, a $\log_{2}4+\log_{2}4=4$.
• Różne podstawy. Wzory z punktu 3 działają tylko dla tej samej podstawy. Przy różnych podstawach najpierw sprowadź je do jednej.
• Logarytm dziesiętny. Zapis $\log x$ bez podstawy oznacza podstawę 10: $\log 1000=3$.

5. Jak ćwiczyć

Zacznij od zadań, w których wystarczy definicja, potem przejdź do łączenia logarytmów wzorami, a na końcu do zadań z parametrem w podstawie. W Leapy temat „Logarytmy” ma lekcję z ściągą, fiszki ze wzorami i zadania z wyjaśnieniami krok po kroku. Błędy wrócą do ciebie w powtórkach, aż wejdą w nawyk.

Pamiętaj też o oficjalnych arkuszach z poprzednich lat na cke.gov.pl: to najlepszy sprawdzian przed egzaminem.