Ciąg arytmetyczny

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1W ciągu arytmetycznym każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$ (różnicy).
2Wyraz ogólny: $a_{n}=a_{1}+(n-1)r$ .
3Suma $n$ początkowych wyrazów: $S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$ .
4Trzy kolejne wyrazy $a,\ b,\ c$ : środkowy to średnia sąsiadów, $b=\frac{a+c}{2}$ .

Ciąg $3, 7, 11, 15, \dots$ jest arytmetyczny: każdy kolejny wyraz jest o $4$ większy. Różnica $r=4$ , pierwszy wyraz $a_{1}=3$ , więc $a_{n}=3+(n-1)\cdot 4=4n-1$ . Sprawdzenie: $a_{4}=15$ .

Suma. Suma $10$ początkowych wyrazów: $a_{10}=39$ , $S_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot 10=210$ . Wzór działa, bo wyrazy z początku i końca łączą się w pary o tej samej sumie.

Dwa dowolne wyrazy. Gdy znamy $a_{3}=10$ i $a_{7}=22$ , to między nimi są $4$ kroki: $4r=12$ , $r=3$ , a $a_{1}=a_{3}-2r=4$ .

Ściąga

Różnica: $r=a_{n+1}-a_{n}$
Wyraz ogólny: $a_{n}=a_{1}+(n-1)r$
Suma: $S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$
Suma (druga postać): $S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$
Własność trzech wyrazów: $2b=a+c$

Typowe błędy

Wzór $a_{n}=a_{1}+nr$ zamiast $a_{1}+(n-1)r$ .
Liczenie różnicy w złą stronę: $r=a_{2}-a_{1}$ , nie $a_{1}-a_{2}$ .
Mylenie $a_{n}$ (jeden wyraz) z $S_{n}$ (suma wyrazów).

Przykładowe zadanie

Wzór ogólny ciągu arytmetycznego $5,\ 2,\ -1,\ -4,\ \dots$ to

A $a_{n}=8-3n$
B $a_{n}=5-3n$
C $a_{n}=3n+2$
D $a_{n}=5+3n$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$a_{1}=5$ , $r=-3$ .
$a_{n}=5+(n-1)(-3)=8-3n$ .
Sprawdzenie: $a_{2}=2$ .