Ciąg geometryczny

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1W ciągu geometrycznym każdy wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez tę samą liczbę $q$ (iloraz).
2Wyraz ogólny: $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$ .
3Suma $n$ początkowych wyrazów dla $q\neq 1$ : $S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q}$ .
4Trzy kolejne wyrazy $a,\ b,\ c$ : $b^{2}=a\cdot c$ .

Ciąg $3, 6, 12, 24, \dots$ jest geometryczny: każdy wyraz jest dwa razy większy od poprzedniego. Iloraz $q=2$ , więc $a_{n}=3\cdot 2^{n-1}$ , a $a_{6}=3\cdot 32=96$ .

Suma. $S_{5}=3\cdot\frac{1-2^{5}}{1-2}=3\cdot\frac{-31}{-1}=93$ . Sprawdzenie: $3+6+12+24+48=93$ .

Ujemny iloraz. Ciąg $2, -6, 18, -54, \dots$ ma $q=-3$ : znaki wyrazów się przeplatają.

Procent składany to ciąg geometryczny: kapitał po każdym roku mnożymy przez $1+\frac{p}{100}$ .

Ściąga

Iloraz: $q=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$
Wyraz ogólny: $a_{n}=a_{1}q^{n-1}$
Suma: $S_{n}=a_{1}\cdot\frac{1-q^{n}}{1-q},\ q\neq 1$
Własność trzech wyrazów: $b^{2}=ac$

Typowe błędy

Wzór $a_{n}=a_{1}\cdot q^{n}$ zamiast $q^{n-1}$ .
Zgubienie ujemnego ilorazu: z $q^{2}=4$ wynika $q=2$ lub $q=-2$ .
Użycie wzoru na sumę dla $q=1$ : wtedy po prostu $S_{n}=n\cdot a_{1}$ .

Przykładowe zadanie

Wzór ogólny ciągu geometrycznego $2,\ -6,\ 18,\ -54,\ \dots$ to

A $a_{n}=2\cdot(-3)^{n-1}$
B $a_{n}=2\cdot 3^{n-1}$
C $a_{n}=-6\cdot(-3)^{n}$
D $a_{n}=2\cdot(-3)^{n}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$a_{1}=2$ , $q=\frac{-6}{2}=-3$ .
$a_{n}=2\cdot(-3)^{n-1}$ .