Przejdź do treści

Funkcje trygonometryczne kąta ostrego

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1W trójkącie prostokątnym: sin⁡α=ac\sin\alpha=\frac{a}{c} (przyprostokątna naprzeciw kąta przez przeciwprostokątną), cos⁡α=bc\cos\alpha=\frac{b}{c} (przyprostokątna przy kącie przez przeciwprostokątną).
  • 2tg⁡α=ab\operatorname{tg}\alpha=\frac{a}{b}: przyprostokątna naprzeciw przez przyprostokątną przy kącie.
  • 3Dla kąta ostrego sin⁡α\sin\alpha i cos⁡α\cos\alpha są z przedziału (0,1)(0,1).
  • 4Wartości dla 30∘30^\circ, 45∘45^\circ, 60∘60^\circ warto znać na pamięć (są też w karcie wzorów).

Wszystkie trzy funkcje to stosunki boków trójkąta prostokątnego, patrząc z wierzchołka kąta α\alpha. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i jest najdłuższa.

Przykład. Trójkąt o przyprostokątnych 33 i 44 ma przeciwprostokątną 55. Dla kąta α\alpha naprzeciw boku 33: sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5}, cos⁡α=45\cos\alpha=\frac{4}{5}, tg⁡α=34\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}.

Szukanie boku. W trójkącie prostokątnym z przeciwprostokątną 1010 i kątem 30∘30^\circ przyprostokątna naprzeciw tego kąta to 10⋅sin⁡30∘=510\cdot\sin 30^\circ=5.

Kąty dopełniające. W trójkącie prostokątnym dwa kąty ostre sumują się do 90∘90^\circ, dlatego sinus jednego jest cosinusem drugiego.

Ściąga

sin 30°, cos 60°
12\frac{1}{2}
sin 45°, cos 45°
22\frac{\sqrt{2}}{2}
sin 60°, cos 30°
32\frac{\sqrt{3}}{2}
tg 30°, tg 45°, tg 60°
33, 1, 3\frac{\sqrt{3}}{3},\ 1,\ \sqrt{3}
Kąty dopełniające
sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha

Typowe błędy

  • Pomylenie przyprostokątnej „naprzeciw” z „przy” kącie.
  • Zamiana wartości sin⁡30∘\sin 30^\circ i sin⁡60∘\sin 60^\circ.
  • Dzielenie przez przyprostokątną zamiast przez przeciwprostokątną w sinusie.

Przykładowe zadanie

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 33 i 44. Sinus kąta leżącego naprzeciw boku długości 33 jest równy

  1. A35\frac{3}{5}
  2. B45\frac{4}{5}
  3. C34\frac{3}{4}
  4. D43\frac{4}{3}
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

  1. Przeciwprostokątna: 9+16=5\sqrt{9+16}=5.
  2. sin⁡α=35\sin\alpha=\frac{3}{5}.