Tożsamości trygonometryczne

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Jedynka trygonometryczna: $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$ dla każdego kąta.
2Tangens to iloraz: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .
3Znając jedną funkcję kąta ostrego, z tych wzorów wyliczysz pozostałe.
4Dla kąta ostrego wybieramy dodatnie wartości pierwiastka.

Tożsamości pozwalają przejść od jednej funkcji do drugiej bez rysowania trójkąta.

Przykład. Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ . Z jedynki: $\cos^{2}\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ , więc $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ (dodatni, bo kąt ostry). Wtedy $\operatorname{tg}\alpha=\frac{4/5}{3/5}=\frac{4}{3}$ .

Upraszczanie wyrażeń. $(\sin\alpha+\cos\alpha)^{2}=\sin^{2}\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^{2}\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha$ . Wzór skróconego mnożenia plus jedynka trygonometryczna.

Z tangensa. Gdy $\operatorname{tg}\alpha=2$ , to $\sin\alpha=2\cos\alpha$ . Wstawiamy do jedynki: $5\cos^{2}\alpha=1$ .

Ściąga

Jedynka trygonometryczna: $\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1$
Tangens: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Sinus z cosinusa (kąt ostry): $\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}$
Iloczyn z tangensem: $\sin\alpha=\operatorname{tg}\alpha\cdot\cos\alpha$

Typowe błędy

Zapis $\sin^{2}\alpha$ jako $\sin(\alpha^{2})$ . To $(\sin\alpha)^{2}$ .
Pominięcie pierwiastka: z $\cos^{2}\alpha=\frac{9}{25}$ wynika $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ , nie $\frac{9}{25}$ .
Odwrócony iloraz: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ jest błędne.

Przykładowe zadanie

Kąt $\alpha$ jest ostry i $\sin\alpha=\frac{4}{5}$ . Wtedy $\cos\alpha$ jest równy

A $\frac{3}{5}$
B $\frac{1}{5}$
C $\frac{9}{25}$
D $\frac{5}{4}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\cos^{2}\alpha=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$ .
Kąt ostry, więc $\cos\alpha=\frac{3}{5}$ .