Kombinatoryka

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Reguła mnożenia: wybór w kilku krokach to iloczyn liczby możliwości w każdym kroku.
2Permutacje $n$ elementów (ustawienia w kolejności): $n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n$ .
3Wariacje bez powtórzeń ( $k$ z $n$ , kolejność ważna): $n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot(n-k+1)$ .
4Kombinacje ( $k$ z $n$ , kolejność nieważna): $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ .

Kluczowe pytanie w każdym zadaniu: czy kolejność ma znaczenie i czy elementy mogą się powtarzać.

Kod PIN z $4$ cyfr: kolejność ważna, powtórzenia dozwolone: $10^{4}=10\,000$ .
Podium (złoto, srebro, brąz) z $8$ zawodników: kolejność ważna, bez powtórzeń: $8\cdot 7\cdot 6=336$ .
Wybór $2$ osób do delegacji z $5$ : kolejność nieważna: $\binom{5}{2}=10$ .

Reguła mnożenia. Strój z $3$ koszulek i $4$ par spodni: $3\cdot 4=12$ zestawów.

Liczby z warunkiem. Liczb trzycyfrowych o różnych cyfrach jest $9\cdot 9\cdot 8=648$ : pierwsza cyfra bez zera, druga dowolna poza pierwszą, trzecia poza dwiema.

Ściąga

Silnia: $n!=1\cdot 2\cdot\ldots\cdot n,\ 0!=1$
Wariacje bez powtórzeń: $\frac{n!}{(n-k)!}$
Wariacje z powtórzeniami: $n^{k}$
Kombinacje: $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

Typowe błędy

Liczenie kombinacji tam, gdzie kolejność ma znaczenie (np. podium, kod PIN).
Dodawanie zamiast mnożenia dla kolejnych kroków wyboru.
Pominięcie, że liczba nie może zaczynać się od $0$ .

Przykładowe zadanie

Liczba $\binom{7}{2}$ jest równa

A $21$
B $42$
C $14$
D $49$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$ , czyli liczba sposobów wyboru $2$ elementów z $n$ .
$\binom{7}{2}=\frac{7\cdot 6}{2}=21$ .