Odchylenie standardowe

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Wariancja mierzy, jak bardzo dane są rozrzucone wokół średniej.
2 $\sigma^{2}=\frac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+\ldots+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}$ .
3Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji: $\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}$ .
4Gdy wszystkie dane są równe, odchylenie standardowe jest równe $0$ .

Dwie klasy mogą mieć tę samą średnią ocen, a zupełnie inny rozrzut. Odchylenie standardowe pokazuje ten rozrzut jedną liczbą.

Przykład. Dane $2, 4, 6$ . Średnia: $4$ . Odchylenia: $-2, 0, 2$ , ich kwadraty: $4, 0, 4$ . Wariancja: $\frac{8}{3}$ , odchylenie standardowe $\sqrt{\frac{8}{3}}\approx 1{,}63$ .

Wzór skrócony. Średnia kwadratów minus kwadrat średniej: dla $2, 4, 6$ średnia kwadratów to $\frac{4+16+36}{3}=\frac{56}{3}$ , a $\frac{56}{3}-16=\frac{8}{3}$ . Ten sam wynik.

Przesunięcie danych. Dodanie do każdej liczby $10$ nie zmienia odchylenia standardowego, bo rozrzut zostaje taki sam.

Ściąga

Wariancja: $\sigma^{2}=\frac{1}{n}\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}$
Odchylenie standardowe: $\sigma=\sqrt{\sigma^{2}}$
Wzór skrócony: $\sigma^{2}=\overline{x^{2}}-\bar{x}^{2}$

Typowe błędy

Podanie wariancji jako odchylenia standardowego (bez pierwiastka).
Pominięcie kwadratów: suma odchyleń od średniej zawsze wynosi $0$ .
Liczenie odchyleń od mediany zamiast od średniej.

Przykładowe zadanie

Wariancja danych $2, 4, 6$ jest równa

A $\frac{8}{3}$
B $4$
C $8$
D $\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Średnia: $4$ .
Kwadraty odchyleń: $4, 0, 4$ .
$\sigma^{2}=\frac{8}{3}$ .