Przejdź do treści

Odcinki i punkty

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Długość odcinka ABAB: ∣AB∣=(xB−xA)2+(yB−yA)2|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}} (to twierdzenie Pitagorasa).
  • 2Środek odcinka: S=(xA+xB2, yA+yB2)S=\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\ \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right).
  • 3Mając środek i jeden koniec, drugi koniec wyznaczysz z wzoru na środek.
  • 4Okrąg o środku (a,b)(a,b) i promieniu rr: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.

Długość odcinka to przeciwprostokątna trójkąta, którego przyprostokątne to różnice współrzędnych. Dla A=(1,2)A=(1,2) i B=(4,6)B=(4,6): ∣AB∣=32+42=5|AB|=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5.

Środek odcinka to średnia współrzędnych: dla A=(−2,5)A=(-2,5) i B=(4,1)B=(4,1) środek to (1,3)(1,3).

Drugi koniec. Gdy S=(2,3)S=(2,3) jest środkiem odcinka ABAB i A=(0,1)A=(0,1), to 0+xB2=2\frac{0+x_{B}}{2}=2 i 1+yB2=3\frac{1+y_{B}}{2}=3, więc B=(4,5)B=(4,5).

Okrąg to wszystkie punkty w odległości rr od środka. Dlatego jego równanie to wzór na długość odcinka podniesiony do kwadratu.

Ściąga

Długość odcinka
(xB−xA)2+(yB−yA)2\sqrt{(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}
Środek odcinka
(xA+xB2, yA+yB2)\left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2},\ \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right)
Równanie okręgu
(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}

Typowe błędy

  • Zapomniany pierwiastek we wzorze na długość odcinka.
  • Odejmowanie zamiast dodawania w środku odcinka.
  • Znaki w równaniu okręgu: środek (x+1)2+(y−2)2=9(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=9 to (−1,2)(-1,2).

Przykładowe zadanie

Środkiem odcinka o końcach A=(−2,5)A=(-2,5) i B=(4,1)B=(4,1) jest punkt

  1. A(1, 3)(1,\ 3)
  2. B(3, 2)(3,\ 2)
  3. C(2, 6)(2,\ 6)
  4. D(−3, 2)(-3,\ 2)
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

(−2+42, 5+12)=(1,3)\left(\frac{-2+4}{2},\ \frac{5+1}{2}\right)=(1,3).