Wyrażenia wymierne

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Wyrażenie wymierne to iloraz dwóch wielomianów, np. $\frac{x+1}{x-2}$ .
2Dziedzina: wszystkie liczby, dla których mianownik jest różny od zera.
3Skracać wolno tylko czynniki, nigdy składniki: najpierw rozłóż licznik i mianownik.
4Dodawanie i odejmowanie: sprowadź do wspólnego mianownika, jak przy ułamkach.

Z wyrażeniami wymiernymi liczymy tak jak z ułamkami zwykłymi. Różnica jest jedna: w mianowniku stoi wyrażenie z $x$ , więc trzeba pilnować, żeby nie dzielić przez zero.

Dziedzina to pierwszy krok w każdym zadaniu. Dla $\frac{3}{x^{2}-9}$ mianownik zeruje się dla $x=3$ i $x=-3$ , więc dziedzina to $\mathbb{R}\setminus\{-3,3\}$ .

Skracanie. Rozkładamy na czynniki i skracamy te same czynniki: $\frac{x^{2}-9}{x+3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x+3}=x-3$ dla $x\neq -3$ .

Równanie wymierne. Ułamek jest równy zeru, gdy zeruje się licznik, a mianownik nie. W $\frac{x^{2}-1}{x-1}=0$ licznik zeruje się dla $x=\pm 1$ , ale $x=1$ nie należy do dziedziny, więc jedynym rozwiązaniem jest $x=-1$ .

Ściąga

Dziedzina: $\frac{W(x)}{Q(x)}:\ Q(x)\neq 0$
Dodawanie: $\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}$
Mnożenie: $\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$
Dzielenie: $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}$
Równanie wymierne: $\frac{W(x)}{Q(x)}=0\iff W(x)=0\ \land\ Q(x)\neq 0$

Typowe błędy

Skracanie składników: $\frac{x+2}{x}\neq 2$ .
Pominięcie dziedziny: po skróceniu $\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2$ nadal $x\neq 2$ .
Zgubiony nawias przy odejmowaniu: $\frac{1}{x}-\frac{x-1}{x}=\frac{1-(x-1)}{x}$ .

Przykładowe zadanie

Dziedziną wyrażenia $\dfrac{5}{x-4}$ jest zbiór

A $\mathbb{R}\setminus\{4\}$
B $\mathbb{R}\setminus\{-4\}$
C $\mathbb{R}\setminus\{0\}$
D $\mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Mianownik $x-4$ zeruje się dla $x=4$ , więc tę liczbę wykluczamy: $\mathbb{R}\setminus\{4\}$ .