Wzory skróconego mnożenia

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Kwadrat sumy: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ . Środkowego wyrazu $2ab$ nie wolno zgubić.
2Kwadrat różnicy: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ .
3Różnica kwadratów: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ . Działa w obie strony: do mnożenia i do rozkładu.
4Wzory pomagają liczyć w pamięci i usuwać niewymierność z mianownika.

Wzory skróconego mnożenia to gotowe wyniki mnożenia, które pojawiają się tak często, że opłaca się je znać na pamięć. Wystarczy rozpoznać, co jest $a$ , a co $b$ .

Przykład. $(2x-3)^{2}$ : tu $a=2x$ , $b=3$ . Stąd $(2x)^{2}-2\cdot 2x\cdot 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9$ .

Rachunki w pamięci. $49\cdot 51=(50-1)(50+1)=50^{2}-1=2499$ , a $99^{2}=(100-1)^{2}=10000-200+1=9801$ .

Usuwanie niewymierności. Mnożymy licznik i mianownik przez „sprzężenie”: $\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}$ .

Ściąga

Kwadrat sumy: $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
Kwadrat różnicy: $(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
Różnica kwadratów: $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$
Sześcian sumy: $(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
Różnica sześcianów: $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
Suma sześcianów: $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

Typowe błędy

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}$ , czyli brak wyrazu $2ab$ .
Zły znak przy $b^{2}$ w kwadracie różnicy: $(a-b)^{2}$ ma na końcu $+b^{2}$ .
Rozkład $a^{2}+b^{2}$ jak różnicy kwadratów. Suma kwadratów nie rozkłada się w liczbach rzeczywistych.

Przykładowe zadanie

Wyrażenie $(x+5)^{2}$ jest równe

A $x^{2}+10x+25$
B $x^{2}+25$
C $x^{2}+5x+25$
D $x^{2}+10x+10$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$a=x$ , $b=5$ .
$a^{2}=x^{2}$ , $2ab=10x$ , $b^{2}=25$ .
$(x+5)^{2}=x^{2}+10x+25$ .

Typowy błąd: $x^{2}+25$ , czyli zgubiony wyraz $2ab$ .