Przejdź do treści

Funkcje trygonometryczne

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Miara łukowa: 180∘=π180^\circ=\pi rad.
  • 2Funkcje sin⁡\sin i cos⁡\cos mają okres 2π2\pi, a tg⁡\operatorname{tg} okres π\pi.
  • 3Wzory redukcyjne pozwalają sprowadzić kąt do przedziału (0,π2)\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
  • 4Wzory na funkcje sumy i podwojonego kąta: sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x, cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x=\cos^{2}x-\sin^{2}x.

Ćwiartki. sin⁡150∘=sin⁡30∘=12\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac{1}{2} (II ćwiartka, sinus dodatni). cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2}.

Okresowość. sin⁡13π6=sin⁡(2π+π6)=12\sin\frac{13\pi}{6}=\sin\left(2\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2}.

Podwojony kąt. Jeśli sin⁡x=35\sin x=\frac{3}{5} i xx jest ostry, to cos⁡x=45\cos x=\frac{4}{5} i sin⁡2x=2425\sin 2x=\frac{24}{25}.

Ściąga

Radiany
αrad=π180∘⋅α∘\alpha_{rad}=\frac{\pi}{180^\circ}\cdot\alpha^\circ
Znaki
I: wszystkie ++; II: sin⁡\sin; III: tg⁡\operatorname{tg}; IV: cos⁡\cos
Sinus sumy
sin⁡(a+b)=sin⁡acos⁡b+cos⁡asin⁡b\sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b
Podwojony kąt
sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x=2\sin x\cos x

Typowe błędy

  • Zły znak funkcji w danej ćwiartce.
  • Mylenie stopni z radianami w obliczeniach.
  • sin⁡(a+b)=sin⁡a+sin⁡b\sin(a+b)=\sin a+\sin b.

Przykładowe zadanie

150∘150^\circ w radianach to

  1. A5π6\frac{5\pi}{6}
  2. B3π4\frac{3\pi}{4}
  3. C2π3\frac{2\pi}{3}
  4. D5π3\frac{5\pi}{3}
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

150⋅π180=5π6150\cdot\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}.