Przejdź do treści

Równania trygonometryczne

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1sin⁡x=a\sin x=a ma rozwiązania tylko dla ∣a∣≤1|a|\le 1.
  • 2Rozwiązania ogólne: sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ ∨ x=π−α+2kπ\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi.
  • 3cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=±α+2kπ\cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2k\pi; tg⁡x=tg⁡α  ⟺  x=α+kπ\operatorname{tg}x=\operatorname{tg}\alpha\iff x=\alpha+k\pi.
  • 4Równania sprowadzamy do jednej funkcji (jedynka, wzory na podwojony kąt) albo do iloczynu.

Przykład. sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} w [0,2π][0,2\pi]: x=π6x=\frac{\pi}{6} lub x=5π6x=\frac{5\pi}{6}.

Iloczyn. sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x: 2sin⁡xcos⁡x−sin⁡x=02\sin x\cos x-\sin x=0, sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x-1)=0. Stąd sin⁡x=0\sin x=0 lub cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2}.

Kwadratowe. 2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^{2}x-\sin x-1=0: t=sin⁡xt=\sin x, 2t2−t−1=02t^{2}-t-1=0, t=1t=1 lub t=−12t=-\frac{1}{2}.

Ściąga

sin
x=α+2kπ ∨ x=π−α+2kπx=\alpha+2k\pi\ \lor\ x=\pi-\alpha+2k\pi
cos
x=±α+2kπx=\pm\alpha+2k\pi
tg
x=α+kπx=\alpha+k\pi

Typowe błędy

  • Podanie tylko jednej serii rozwiązań dla sinusa.
  • Dzielenie przez sin⁡x\sin x (gubi się rozwiązania sin⁡x=0\sin x=0).
  • Pominięcie przedziału z treści zadania.

Przykładowe zadanie

Rozwiązaniami równania cos⁡x=0\cos x=0 są

  1. Ax=π2+kπx=\frac{\pi}{2}+k\pi
  2. Bx=kπx=k\pi
  3. Cx=2kπx=2k\pi
  4. Dx=π4+kπx=\frac{\pi}{4}+k\pi
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Cosinus zeruje się w π2\frac{\pi}{2} i 3π2\frac{3\pi}{2}, co π\pi.