Logarytmy

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Zmiana podstawy: $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$ .
2Równania logarytmiczne: najpierw dziedzina (argumenty dodatnie, podstawa dodatnia i różna od $1$ ).
3Funkcja $\log_{a}x$ rośnie dla $a>1$ i maleje dla $0<a<1$ — od tego zależy kierunek nierówności.
4 $a^{\log_{a}b}=b$ oraz $\log_{a}a^{x}=x$ .

Równanie. $\log_{2}(x+1)+\log_{2}(x-1)=3$ . Dziedzina: $x>1$ . Łączymy: $\log_{2}(x^{2}-1)=3$ , czyli $x^{2}-1=8$ , $x=\pm 3$ . Dziedzinę spełnia tylko $x=3$ .

Nierówność. $\log_{\frac{1}{2}}(x-2)>-1$ . Dziedzina $x>2$ . Podstawa $<1$ , więc zmieniamy zwrot: $x-2<2$ , $x<4$ . Wynik: $(2,4)$ .

Zmiana podstawy przydaje się przy obliczeniach: $\log_{4}8=\frac{\log_{2}8}{\log_{2}4}=\frac{3}{2}$ .

Ściąga

Zmiana podstawy: $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
Odwrotność: $\log_{a}b=\frac{1}{\log_{b}a}$
Potęga i logarytm: $a^{\log_{a}b}=b$
Nierówność, $0<a<1$: $\log_{a}x>\log_{a}y\iff x<y$

Typowe błędy

Pominięcie dziedziny w równaniu logarytmicznym.
Brak zmiany zwrotu nierówności dla podstawy z przedziału $(0,1)$ .
$\log(a+b)=\log a+\log b$ .

Przykładowe zadanie

Zbiorem rozwiązań nierówności $\log_{\frac{1}{2}}(x-2)>-1$ jest

A $(2,\ 4)$
B $(4,\ \infty)$
C $(2,\ \infty)$
D $(-\infty,\ 4)$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Dziedzina: $x>2$ .
$-1=\log_{\frac{1}{2}}2$ ; podstawa $<1$ , zmieniamy zwrot: $x-2<2$ .
$x\in(2,4)$ .