Otwórz aplikację

Wartość bezwzględna i nierówności

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Równania z kilkoma modułami rozwiązujemy w przedziałach wyznaczonych przez miejsca zerowe wyrażeń pod modułami.
2W każdym przedziale opuszczamy moduł ze znakiem $+$ lub $-$ i sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do przedziału.
3 $|a|=|b|\iff a=b\ \lor\ a=-b$ ; $|a|<|b|\iff a^{2}<b^{2}$ .
4Wykres $y=|f(x)|$ : części pod osią $Ox$ odbijamy w górę.

Metoda przedziałów. Równanie $|x-1|+|x+2|=5$ : miejsca zerowe $1$ i $-2$ dzielą oś na trzy przedziały.

$x<-2$ : $-(x-1)-(x+2)=5$ , $-2x-1=5$ , $x=-3$ (należy do przedziału).
$-2\le x<1$ : $-(x-1)+(x+2)=3\neq 5$ — brak rozwiązań.
$x\ge 1$ : $(x-1)+(x+2)=5$ , $2x+1=5$ , $x=2$ .

Rozwiązania: $x=-3$ lub $x=2$ .

Interpretacja geometryczna. $|x-1|+|x+2|$ to suma odległości $x$ od $1$ i od $-2$ . Najmniejsza wartość to $3$ (dla $x$ między nimi).

Ściąga

Definicja: $|x|=x$ dla $x\ge 0$ , $|x|=-x$ dla $x<0$
Równość modułów: $|a|=|b|\iff a=\pm b$
Nierówność modułów: $|a|<|b|\iff a^{2}<b^{2}$
Nierówność trójkąta: $|a+b|\le|a|+|b|$

Typowe błędy

Brak sprawdzenia, czy rozwiązanie należy do rozpatrywanego przedziału.
Zgubienie przypadku na granicy przedziałów.
Podnoszenie do kwadratu stron nierówności o różnych znakach.

Przykładowe zadanie

Zbiorem rozwiązań nierówności $|2x-1|>|x+1|$ jest

A $(-\infty,0)\cup(2,\ \infty)$
B $(0,\ 2)$
C $(-\infty,-2)\cup(0,\ \infty)$
D $\mathbb{R}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Podnosimy do kwadratu (obie strony nieujemne): $4x^{2}-4x+1>x^{2}+2x+1$ .
$3x^{2}-6x>0$ , $3x(x-2)>0$ .
$x<0$ lub $x>2$ .