Równania kwadratowe z parametrem

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Najpierw sprawdź, czy dla jakiegoś parametru współczynnik $a$ jest zerem (wtedy równanie jest liniowe).
2Dwa różne pierwiastki: $a\neq 0$ i $\Delta>0$ ; jeden: $\Delta=0$ (albo równanie liniowe z jednym rozwiązaniem).
3Pierwiastki tego samego znaku: $x_{1}x_{2}>0$ ; różnych znaków: $x_{1}x_{2}<0$ .
4Warunki z wzorów Viète’a łączymy z warunkiem na $\Delta$ .

Przykład. Dla jakich $m$ równanie $x^{2}-2mx+m+2=0$ ma dwa różne pierwiastki? $\Delta=4m^{2}-4(m+2)=4(m^{2}-m-2)>0$ , czyli $(m-2)(m+1)>0$ : $m<-1$ lub $m>2$ .

Różne znaki. $x^{2}+x+m-3=0$ ma pierwiastki różnych znaków, gdy $x_{1}x_{2}=m-3<0$ , czyli $m<3$ (wtedy $\Delta>0$ automatycznie).

Zawsze zapisz wszystkie warunki i weź ich część wspólną.

Ściąga

Dwa pierwiastki: $a\neq 0$ , $\Delta>0$
Pierwiastki dodatnie: $\Delta>0$ , $x_{1}+x_{2}>0$ , $x_{1}x_{2}>0$
Różne znaki: $\frac{c}{a}<0$

Typowe błędy

Pominięcie przypadku $a=0$ .
Warunek $\Delta\ge 0$ zamiast $\Delta>0$ dla dwóch różnych pierwiastków.
Brak części wspólnej wszystkich warunków.

Przykładowe zadanie

Równanie $x^{2}-2mx+m+2=0$ ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste dla

A $m\in(-\infty,-1)\cup(2,\infty)$
B $m\in(-1,\ 2)$
C $m\in[-1,\ 2]$
D $m>2$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\Delta=4m^{2}-4m-8>0\iff (m-2)(m+1)>0$ .