Przejdź do treści

Wzory Viète’a

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Dla ax2+bx+c=0ax^{2}+bx+c=0 z pierwiastkami x1,x2x_{1}, x_{2}: x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}, x1x2=cax_{1}x_{2}=\frac{c}{a}.
  • 2Wzory działają, gdy pierwiastki istnieją (Δ≥0\Delta\ge 0).
  • 3Z nich liczymy wyrażenia symetryczne: x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}.
  • 41x1+1x2=x1+x2x1x2\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}.

Wzory Viète’a pozwalają liczyć wyrażenia od pierwiastków bez ich wyznaczania.

Przykład. x2−5x+3=0x^{2}-5x+3=0: Δ=13>0\Delta=13>0, x1+x2=5x_{1}+x_{2}=5, x1x2=3x_{1}x_{2}=3. Wtedy x12+x22=25−6=19x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=25-6=19, a 1x1+1x2=53\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{5}{3}.

Z parametrem. Suma kwadratów pierwiastków x2−mx+m−1=0x^{2}-mx+m-1=0 jest równa m2−2(m−1)=m2−2m+2m^{2}-2(m-1)=m^{2}-2m+2.

Ściąga

Suma
x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}
Iloczyn
x1x2=cax_{1}x_{2}=\frac{c}{a}
Suma kwadratów
(x1+x2)2−2x1x2(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}
Suma sześcianów
(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})

Typowe błędy

  • Zły znak sumy: x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}.
  • Użycie wzorów bez sprawdzenia Δ\Delta.
  • x12+x22=(x1+x2)2x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2} bez −2x1x2-2x_{1}x_{2}.

Przykładowe zadanie

Suma pierwiastków równania 2x2−8x+3=02x^{2}-8x+3=0 jest równa

  1. A44
  2. B−4-4
  3. C32\frac{3}{2}
  4. D88
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

  1. Wzór Viète’a: x1+x2=−bax_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a} (pierwiastki istnieją, bo Δ=64−24>0\Delta=64-24>0).
  2. −−82=4-\frac{-8}{2}=4.