Przejdź do treści

Bryły obrotowe

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Walec: V=πr2HV=\pi r^{2}H, Pc=2πr2+2πrHP_{c}=2\pi r^{2}+2\pi rH.
  • 2Stożek: V=13πr2HV=\frac{1}{3}\pi r^{2}H, Pc=πr2+πrlP_{c}=\pi r^{2}+\pi rl, gdzie ll to tworząca.
  • 3Kula: V=43πr3V=\frac{4}{3}\pi r^{3}, P=4πr2P=4\pi r^{2}.
  • 4W stożku rr, HH i ll tworzą trójkąt prostokątny: r2+H2=l2r^{2}+H^{2}=l^{2}.

Bryły obrotowe powstają przez obrót figury wokół osi: prostokąta (walec), trójkąta prostokątnego (stożek) albo półkola (kula).

Walec. Promień 33, wysokość 55: V=π⋅9⋅5=45πV=\pi\cdot 9\cdot 5=45\pi. Pole boczne to rozwinięty prostokąt o bokach 2πr2\pi r i HH: 30π30\pi.

Stożek. Promień 33 i wysokość 44 dają tworzącą 55. V=13π⋅9⋅4=12πV=\frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 4=12\pi, Pb=π⋅3⋅5=15πP_{b}=\pi\cdot 3\cdot 5=15\pi.

Kula. Dla r=3r=3: V=43π⋅27=36πV=\frac{4}{3}\pi\cdot 27=36\pi, P=36πP=36\pi.

Ściąga

Walec
V=πr2H, Pb=2πrHV=\pi r^{2}H,\ P_{b}=2\pi rH
Stożek
V=13πr2H, Pb=πrlV=\frac{1}{3}\pi r^{2}H,\ P_{b}=\pi rl
Kula
V=43πr3, P=4πr2V=\frac{4}{3}\pi r^{3},\ P=4\pi r^{2}
Tworząca stożka
l2=r2+H2l^{2}=r^{2}+H^{2}

Typowe błędy

  • Mylenie tworzącej stożka ll z wysokością HH.
  • Wstawienie średnicy zamiast promienia.
  • Zapomniany 13\frac{1}{3} w objętości stożka.

Przykładowe zadanie

Objętość walca o promieniu podstawy 33 i wysokości 55 jest równa

  1. A45π45\pi
  2. B15π15\pi
  3. C30π30\pi
  4. D75π75\pi
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

V=π⋅32⋅5=45πV=\pi\cdot 3^{2}\cdot 5=45\pi.