Równania i nierówności kwadratowe

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Równanie $ax^{2}+bx+c=0$ rozwiązujemy przez wyróżnik $\Delta=b^{2}-4ac$ .
2 $\Delta>0$ : dwa rozwiązania, $\Delta=0$ : jedno, $\Delta<0$ : brak rozwiązań rzeczywistych.
3Gdy brakuje $b$ albo $c$ , szybciej jest rozłożyć na czynniki niż liczyć $\Delta$ .
4Nierówność kwadratową odczytujemy z wykresu: parabola nad osią ( $>0$ ) albo pod osią ( $<0$ ).

Równanie kwadratowe ma najwyżej dwa rozwiązania. Najpierw sprawdź, czy da się je rozwiązać bez $\Delta$ :

$x^{2}-9=0$ : $x^{2}=9$ , więc $x=3$ lub $x=-3$ ;
$x^{2}-5x=0$ : $x(x-5)=0$ , więc $x=0$ lub $x=5$ .

W pozostałych przypadkach liczymy $\Delta$ . Dla $x^{2}-5x+6=0$ : $\Delta=25-24=1$ , $x_{1}=\frac{5-1}{2}=2$ , $x_{2}=\frac{5+1}{2}=3$ .

Nierówność $x^{2}-5x+6<0$ . Ramiona paraboli są skierowane w górę ( $a=1>0$ ), miejsca zerowe to $2$ i $3$ . Parabola jest pod osią między miejscami zerowymi: $x\in(2,3)$ . Dla $x^{2}-5x+6\ge 0$ bierzemy resztę osi razem z końcami: $(-\infty,2]\cup[3,\infty)$ .

Ściąga

Wyróżnik: $\Delta=b^{2}-4ac$
Pierwiastki: $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$
Pierwiastek podwójny: $\Delta=0:\ x_{0}=-\frac{b}{2a}$
Postać iloczynowa: $a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Wzory Viète’a: $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\ x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

Typowe błędy

Dzielenie przez $x$ w $x^{2}=3x$ : gubi się rozwiązanie $x=0$ .
Zły znak w $\Delta$ , gdy $c$ jest ujemne: $-4ac$ staje się dodatnie.
Odczytanie przedziału odwrotnie: dla $a>0$ nierówność $<0$ ma rozwiązania między pierwiastkami.

Przykładowe zadanie

Ile rozwiązań rzeczywistych ma równanie $x^{2}+2x+5=0$ ?

A $0$
B $1$
C $2$
Dnieskończenie wiele

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\Delta=4-20=-16<0$ , więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.