Równania i nierówności liniowe

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Równanie liniowe sprowadzamy do postaci $ax=b$ i dzielimy przez $a$ (gdy $a\neq 0$ ).
2Dla $a=0$ : równanie $0=b$ nie ma rozwiązań, gdy $b\neq 0$ , a $0=0$ ma ich nieskończenie wiele.
3Mnożąc lub dzieląc nierówność przez liczbę ujemną, zmieniamy jej zwrot.
4Wynik nierówności zapisujemy jako przedział i zaznaczamy na osi.

Równanie liniowe rozwiązujemy jak wagę: to, co robimy z jedną stroną, robimy też z drugą. Zbieramy $x$ po jednej stronie, liczby po drugiej i dzielimy.

Przykład. $3(x-2)=x+4$ . Mnożymy nawias: $3x-6=x+4$ . Odejmujemy $x$ i dodajemy $6$ : $2x=10$ , więc $x=5$ . Sprawdzenie: $3\cdot 3=9=5+4$ .

Nierówność. Te same kroki, z jednym wyjątkiem: przy mnożeniu albo dzieleniu przez liczbę ujemną odwracamy znak. $4-2x\ge 10$ , więc $-2x\ge 6$ , więc $x\le -3$ , czyli $x\in(-\infty,-3]$ .

Na końcu warto podstawić jedną liczbę z wyniku, żeby sprawdzić zwrot.

Ściąga

Postać ogólna: $ax+b=0\Rightarrow x=-\frac{b}{a}\ (a\neq 0)$
Zmiana zwrotu: $-x<3\iff x>-3$
Przedział z końcem (≥): $x\ge 2\iff x\in[2,\infty)$
Przedział bez końca (<): $x<2\iff x\in(-\infty,2)$

Typowe błędy

Brak zmiany zwrotu: z $-2x>6$ wychodzi $x<-3$ , a nie $x>-3$ .
Zły znak po przeniesieniu na drugą stronę: $3x+5=2\Rightarrow 3x=-3$ .
Nawias przy przedziale: $x\le 4$ to $(-\infty,4]$ z nawiasem kwadratowym przy $4$ .

Przykładowe zadanie

Zbiorem rozwiązań nierówności $4-2x\ge 10$ jest

A $(-\infty,-3]$
B $[-3,\ \infty)$
C $(-\infty,3]$
D $[3,\ \infty)$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$-2x\ge 6$ .
Dzielimy przez $-2$ i zmieniamy zwrot: $x\le -3$ .
Przedział: $(-\infty,-3]$ .