Układy równań

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Rozwiązanie układu to para liczb $(x,y)$ , która spełnia oba równania naraz.
2Metoda podstawiania: wyznacz jedną niewiadomą z jednego równania i wstaw do drugiego.
3Metoda przeciwnych współczynników: dodaj równania tak, żeby jedna niewiadoma zniknęła.
4Układ może mieć jedno rozwiązanie, żadnego (proste równoległe) albo nieskończenie wiele (ta sama prosta).

Każde równanie liniowe z dwiema niewiadomymi to prosta na płaszczyźnie. Rozwiązanie układu to punkt wspólny dwóch prostych.

Przykład podstawiania. Z $\begin{cases}y=2x-1\\ 3x+y=9\end{cases}$ wstawiamy $y$ do drugiego równania: $3x+2x-1=9$ , czyli $5x=10$ , $x=2$ . Wtedy $y=2\cdot 2-1=3$ . Rozwiązanie: $(2,3)$ .

Przykład przeciwnych współczynników. $\begin{cases}2x+3y=12\\ 2x-y=4\end{cases}$ . Odejmujemy równania: $4y=8$ , $y=2$ , a z drugiego $2x=6$ , $x=3$ .

Na końcu sprawdź oba równania. To trwa kilka sekund i wyłapuje większość pomyłek w znakach.

Ściąga

Podstawianie: $y=2x-1\Rightarrow$ wstaw do drugiego równania
Przeciwne współczynniki: $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}\Rightarrow 2x=6$
Układ sprzeczny: $\begin{cases}x+y=1\\ x+y=3\end{cases}$
Układ nieoznaczony: $\begin{cases}x+y=1\\ 2x+2y=2\end{cases}$

Typowe błędy

Wstawienie wyniku z powrotem do tego samego równania, z którego wyznaczono niewiadomą: zawsze wyjdzie tożsamość.
Pomnożenie tylko jednej strony równania przy metodzie przeciwnych współczynników.
Podanie samego $x$ bez $y$ .

Przykładowe zadanie

Rozwiązaniem układu $\begin{cases}x+y=5\\ x-y=1\end{cases}$ jest para

A $x=3,\ y=2$
B $x=2,\ y=3$
C $x=4,\ y=1$
D $x=3,\ y=-2$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Dodajemy równania: $2x=6$ , $x=3$ .
Z pierwszego: $y=5-3=2$ .
Sprawdzenie: $3-2=1$ .