Przejdź do treści

Ciągi

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Ciąg rosnący: an+1−an>0a_{n+1}-a_{n}>0 dla każdego nn; badamy znak różnicy.
  • 2Ciąg określony rekurencyjnie: kolejny wyraz z poprzednich, np. an+1=2an+1a_{n+1}=2a_{n}+1.
  • 3Indukcja matematyczna dowodzi własności dla wszystkich n∈Nn\in\mathbb{N}.
  • 4Ciąg arytmetyczny i geometryczny łączą się w zadaniach: np. trzy liczby tworzą oba ciągi.

Monotoniczność. an=nn+1a_{n}=\frac{n}{n+1}: an+1−an=n+1n+2−nn+1=1(n+1)(n+2)>0a_{n+1}-a_{n}=\frac{n+1}{n+2}-\frac{n}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0. Ciąg jest rosnący.

Rekurencja. a1=1a_{1}=1, an+1=2an+1a_{n+1}=2a_{n}+1: 1,3,7,15,…1, 3, 7, 15, \ldots — wyraz ogólny an=2n−1a_{n}=2^{n}-1 (można dowieść indukcyjnie).

Oba ciągi. Liczby a,b,ca, b, c tworzą jednocześnie ciąg arytmetyczny i geometryczny tylko wtedy, gdy a=b=ca=b=c.

Ściąga

Monotoniczność
znak an+1−ana_{n+1}-a_{n}
Arytmetyczny
2an=an−1+an+12a_{n}=a_{n-1}+a_{n+1}
Geometryczny
an2=an−1an+1a_{n}^{2}=a_{n-1}a_{n+1}

Typowe błędy

  • Badanie monotoniczności na kilku pierwszych wyrazach zamiast ogólnie.
  • Pominięcie warunku początkowego w rekurencji.
  • Mylenie an+1a_{n+1} z an+1a_{n}+1.

Przykładowe zadanie

Ciąg an=nn+1a_{n}=\frac{n}{n+1} jest

  1. Arosnący
  2. Bmalejący
  3. Cstały
  4. Dniemonotoniczny
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

an+1−an=1(n+1)(n+2)>0a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0.