Przejdź do treści

Granica ciągu

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Granica ciągu to liczba, do której wyrazy zbliżają się dowolnie blisko dla dużych nn.
  • 2Dla ilorazu wielomianów: porównujemy najwyższe potęgi; dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę nn z mianownika.
  • 3lim⁡1n=0\lim\frac{1}{n}=0, lim⁡qn=0\lim q^{n}=0 dla ∣q∣<1|q|<1.
  • 4Wyrażenia z pierwiastkami: mnożymy przez sprzężenie.

Przykład. lim⁡3n2+1n2−5n\lim\frac{3n^{2}+1}{n^{2}-5n}: dzielimy przez n2n^{2}: 3+1n21−5n→31=3\frac{3+\frac{1}{n^{2}}}{1-\frac{5}{n}}\to\frac{3}{1}=3.

Różne stopnie. lim⁡2n+1n2+3=0\lim\frac{2n+1}{n^{2}+3}=0 (mianownik rośnie szybciej).

Sprzężenie. lim⁡(n2+n−n)=lim⁡nn2+n+n=12\lim(\sqrt{n^{2}+n}-n)=\lim\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}=\frac{1}{2}.

Ściąga

Podstawowe
lim⁡1n=0\lim\frac{1}{n}=0
Iloraz wielomianów, ten sam stopień
iloraz współczynników przy najwyższych potęgach
Ciąg geometryczny
lim⁡qn=0\lim q^{n}=0 dla ∣q∣<1|q|<1
Liczba e
lim⁡(1+1n)n=e\lim\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e

Typowe błędy

  • Podstawianie n=∞n=\infty jako liczby.
  • Zgubienie współczynników przy najwyższych potęgach.
  • Uznanie ∞−∞=0\infty-\infty=0.

Przykładowe zadanie

lim⁡n→∞(23)n\lim_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} jest równa

  1. A00
  2. B11
  3. C23\frac{2}{3}
  4. D∞\infty
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

  1. Gdy ∣q∣<1|q|<1, kolejne potęgi qnq^{n} są coraz mniejsze i dążą do 00.
  2. ∣23∣<1\left|\frac{2}{3}\right|<1, więc granica to 00.