Przejdź do treści

Szereg geometryczny

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Suma nieskończonego ciągu geometrycznego istnieje, gdy ∣q∣<1|q|<1.
  • 2Wtedy S=a11−qS=\frac{a_{1}}{1-q}.
  • 3Ułamek okresowy zamienia się na zwykły jako suma szeregu: 0,(3)=130{,}(3)=\frac{1}{3}.
  • 4W zadaniach z parametrem trzeba sprawdzić warunek ∣q∣<1|q|<1.

Przykład. 1+12+14+…1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots: a1=1a_{1}=1, q=12q=\frac{1}{2}, S=11−12=2S=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2.

Ułamek okresowy. 0,(7)=0,7+0,07+…=0,71−0,1=790{,}(7)=0{,}7+0{,}07+\ldots=\frac{0{,}7}{1-0{,}1}=\frac{7}{9}.

Parametr. Szereg 1+x+x2+…1+x+x^{2}+\ldots jest zbieżny dla x∈(−1,1)x\in(-1,1) i ma sumę 11−x\frac{1}{1-x}.

Ściąga

Warunek
∣q∣<1|q|<1
Suma
S=a11−qS=\frac{a_{1}}{1-q}
Ułamek okresowy
0,(ab)=ab990{,}(ab)=\frac{ab}{99}

Typowe błędy

  • Liczenie sumy dla ∣q∣≥1|q|\ge 1.
  • Pomylenie a1a_{1} z qq we wzorze.
  • Pominięcie warunku zbieżności przy parametrze.

Przykładowe zadanie

Ułamek 0,(7)0{,}(7) jest równy

  1. A79\frac{7}{9}
  2. B710\frac{7}{10}
  3. C799\frac{7}{99}
  4. D77100\frac{77}{100}
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

0,71−0,1=79\frac{0{,}7}{1-0{,}1}=\frac{7}{9}.