Funkcje wymierne

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Funkcja homograficzna $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ ( $c\neq 0$ , $ad-bc\neq 0$ ) ma wykres hiperboli.
2Asymptota pionowa: $x=-\frac{d}{c}$ , pozioma: $y=\frac{a}{c}$ .
3 $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$ to hiperbola $\frac{a}{x}$ przesunięta o wektor $[p,q]$ .
4Nierówności wymierne: zamieniamy na iloczyn $W(x)\cdot Q(x)$ z tym samym znakiem i pamiętamy o $Q(x)\neq 0$ .

Przykład. $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}=\frac{2(x-1)+3}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}$ . Asymptoty: $x=1$ , $y=2$ . Dziedzina $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ , zbiór wartości $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ .

Nierówność. $\frac{x+2}{x-3}\le 0$ . Równoważnie $(x+2)(x-3)\le 0$ i $x\neq 3$ : rozwiązanie $[-2,3)$ .

Ściąga

Postać kanoniczna: $f(x)=\frac{a}{x-p}+q$
Asymptoty: $x=p$ , $y=q$
Nierówność: $\frac{W}{Q}>0\iff W\cdot Q>0$

Typowe błędy

Mnożenie nierówności przez mianownik o nieznanym znaku.
Włączenie do rozwiązania miejsc zerowych mianownika.
Pomylenie asymptot pionowej i poziomej.

Przykładowe zadanie

Asymptotami wykresu funkcji $f(x)=\frac{2x+1}{x-1}$ są proste

A $x=1$ i $y=2$
B $x=-1$ i $y=2$
C $x=1$ i $y=-1$
D $x=2$ i $y=1$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$f(x)=2+\frac{3}{x-1}$ : asymptoty $x=1$ , $y=2$ .