Przejdź do treści

Wielomiany

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Wielomian stopnia nn: W(x)=anxn+…+a1x+a0W(x)=a_{n}x^{n}+\ldots+a_{1}x+a_{0}, an≠0a_{n}\neq 0.
  • 2Twierdzenie Bézouta: x0x_{0} jest pierwiastkiem WW wtedy i tylko wtedy, gdy (x−x0)(x-x_{0}) dzieli W(x)W(x); reszta z dzielenia przez (x−a)(x-a) to W(a)W(a).
  • 3Pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych są dzielnikami wyrazu wolnego.
  • 4Rozkład na czynniki: wyłączanie przed nawias, grupowanie, wzory skróconego mnożenia, schemat Hornera.

Przykład rozkładu. W(x)=x3−2x2−x+2W(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2. Grupujemy: x2(x−2)−(x−2)=(x−2)(x2−1)=(x−2)(x−1)(x+1)x^{2}(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^{2}-1)=(x-2)(x-1)(x+1). Pierwiastki: 2,1,−12, 1, -1.

Reszta. Reszta z dzielenia W(x)=x3+2x−5W(x)=x^{3}+2x-5 przez (x−2)(x-2) to W(2)=8+4−5=7W(2)=8+4-5=7.

Parametr. Jeśli x=1x=1 jest pierwiastkiem x3+mx−4x^{3}+mx-4, to 1+m−4=01+m-4=0, więc m=3m=3.

Ściąga

Bézout
W(a)=0  ⟺  (x−a)∣W(x)W(a)=0\iff (x-a)\mid W(x)
Reszta
reszta z dzielenia przez (x−a)(x-a) to W(a)W(a)
Pierwiastki całkowite
dzielniki a0a_{0} (gdy współczynniki całkowite)
Grupowanie
x3−2x2−x+2=(x−2)(x2−1)x^{3}-2x^{2}-x+2=(x-2)(x^{2}-1)

Typowe błędy

  • Szukanie pierwiastków wymiernych poza dzielnikami wyrazu wolnego (dla an=1a_{n}=1).
  • Błąd znaku w twierdzeniu o reszcie: reszta z dzielenia przez (x+2)(x+2) to W(−2)W(-2).
  • Pominięcie krotności pierwiastka.

Przykładowe zadanie

Wielomian W(x)=x3−2x2−x+2W(x)=x^{3}-2x^{2}-x+2 rozłożony na czynniki to

  1. A(x−2)(x−1)(x+1)(x-2)(x-1)(x+1)
  2. B(x+2)(x−1)(x+1)(x+2)(x-1)(x+1)
  3. C(x−2)(x2+1)(x-2)(x^{2}+1)
  4. D(x−2)2(x+1)(x-2)^{2}(x+1)
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

x2(x−2)−(x−2)=(x−2)(x2−1)x^{2}(x-2)-(x-2)=(x-2)(x^{2}-1).