Równania i nierówności wielomianowe

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Równanie wielomianowe: rozkładamy na czynniki i przyrównujemy każdy do zera.
2Nierówność: rozkład na czynniki, pierwiastki na osi, „wężyk” od prawej strony od znaku współczynnika przy najwyższej potędze.
3Przy pierwiastku krotności parzystej wykres odbija się od osi (znak się nie zmienia).
4Podstawienie $t=x^{2}$ upraszcza równania dwukwadratowe.

Nierówność. $(x-1)(x+2)(x-3)\ge 0$ . Pierwiastki $-2, 1, 3$ ; współczynnik przy $x^{3}$ dodatni, więc „wężyk” zaczynamy od góry z prawej. Rozwiązanie: $[-2,1]\cup[3,\infty)$ .

Krotność. $(x-2)^{2}(x+1)<0$ : przy $x=2$ znak się nie zmienia. Wartości ujemne dla $x<-1$ .

Dwukwadratowe. $x^{4}-5x^{2}+4=0$ : $t^{2}-5t+4=0$ , $t=1$ lub $t=4$ , więc $x\in\{-2,-1,1,2\}$ .

Ściąga

Iloczyn równy zero: $AB=0\iff A=0\ \lor\ B=0$
Dwukwadratowe: $x^{4}+bx^{2}+c=0$ , $t=x^{2}\ge 0$
Krotność parzysta: znak się nie zmienia

Typowe błędy

Dzielenie przez wyrażenie z $x$ (gubią się pierwiastki).
Zmiana znaku przy pierwiastku parzystej krotności.
Odrzucanie ujemnych $t$ dopiero po powrocie do $x$ — trzeba je odrzucić od razu ( $t=x^{2}\ge 0$ ).

Przykładowe zadanie

Zbiorem rozwiązań nierówności $(x-1)(x+2)(x-3)\ge 0$ jest

A $[-2,1]\cup[3,\infty)$
B $(-\infty,-2]\cup[1,3]$
C $[-2,3]$
D $[1,\infty)$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Pierwiastki $-2, 1, 3$ ; współczynnik dodatni, „wężyk” od góry z prawej.