Przejdź do treści

Geometria analityczna

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Odległość punktu (x0,y0)(x_{0},y_{0}) od prostej Ax+By+C=0Ax+By+C=0: d=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d=\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.
  • 2Okrąg: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}; postać x2+y2−2ax−2by+c=0x^{2}+y^{2}-2ax-2by+c=0 z warunkiem a2+b2−c>0a^{2}+b^{2}-c>0.
  • 3Prosta jest styczna do okręgu, gdy odległość środka od prostej jest równa rr.
  • 4Wektory: AB⃗=[xB−xA, yB−yA]\vec{AB}=[x_{B}-x_{A},\ y_{B}-y_{A}], iloczyn skalarny 00 oznacza prostopadłość.

Odległość. Punkt (1,2)(1,2) od prostej 3x+4y−1=03x+4y-1=0: d=∣3+8−1∣5=2d=\frac{|3+8-1|}{5}=2.

Okrąg z postaci ogólnej. x2+y2−4x+6y−3=0x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0: (x−2)2+(y+3)2=16(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=16, środek (2,−3)(2,-3), r=4r=4.

Styczna. Prosta y=x+my=x+m jest styczna do x2+y2=2x^{2}+y^{2}=2, gdy ∣m∣2=2\frac{|m|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}, czyli m=±2m=\pm 2.

Ściąga

Odległość punktu od prostej
∣Ax0+By0+C∣A2+B2\frac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}
Iloczyn skalarny
u⃗∘v⃗=u1v1+u2v2\vec{u}\circ\vec{v}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}
Styczność
d(S,l)=rd(S,l)=r

Typowe błędy

  • Brak modułu w liczniku wzoru na odległość.
  • Zły znak środka przy przekształcaniu równania okręgu.
  • Pominięcie warunku r2>0r^{2}>0.

Przykładowe zadanie

Okrąg x2+y2−4x+6y−3=0x^{2}+y^{2}-4x+6y-3=0 ma środek i promień

  1. AS=(2,−3)S=(2,-3), r=4r=4
  2. BS=(−2,3)S=(-2,3), r=4r=4
  3. CS=(2,−3)S=(2,-3), r=16r=16
  4. DS=(4,−6)S=(4,-6), r=3r=3
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

  1. Uzupełniamy do pełnych kwadratów: x2−4x=(x−2)2−4x^{2}-4x=(x-2)^{2}-4 i y2+6y=(y+3)2−9y^{2}+6y=(y+3)^{2}-9.
  2. (x−2)2+(y+3)2=3+4+9=16(x-2)^{2}+(y+3)^{2}=3+4+9=16, więc S=(2,−3)S=(2,-3) i r=4r=4.