Przejdź do treści

Planimetria

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Twierdzenie sinusów: asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ=2R\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R.
  • 2Twierdzenie cosinusów: c2=a2+b2−2abcos⁡γc^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma.
  • 3Pole trójkąta: P=abc4R=rpP=\frac{abc}{4R}=rp, gdzie pp to połowa obwodu, rr promień okręgu wpisanego.
  • 4Czworokąt wpisany w okrąg: sumy przeciwległych kątów są równe 180∘180^\circ; opisany na okręgu: sumy przeciwległych boków równe.

Twierdzenie cosinusów. Boki 55 i 88, kąt między nimi 60∘60^\circ: c2=25+64−80⋅12=49c^{2}=25+64-80\cdot\frac{1}{2}=49, c=7c=7.

Wzór Herona. Trójkąt 5,12,135, 12, 13: p=15p=15, P=15⋅10⋅3⋅2=30P=\sqrt{15\cdot 10\cdot 3\cdot 2}=30. Promień wpisanego: r=Pp=2r=\frac{P}{p}=2.

Promień opisany. W trójkącie prostokątnym RR to połowa przeciwprostokątnej.

Ściąga

Twierdzenie sinusów
asin⁡α=2R\frac{a}{\sin\alpha}=2R
Twierdzenie cosinusów
c2=a2+b2−2abcos⁡γc^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma
Pole z promieniem wpisanym
P=r⋅pP=r\cdot p
Wzór Herona
P=p(p−a)(p−b)(p−c)P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

Typowe błędy

  • Zły kąt w twierdzeniu cosinusów (musi być naprzeciw szukanego boku).
  • Mylenie RR (okrąg opisany) z rr (wpisany).
  • Zapomnienie o 2R2R w twierdzeniu sinusów.

Przykładowe zadanie

Czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy

  1. Asumy przeciwległych kątów są równe 180∘180^\circ
  2. Bsumy przeciwległych boków są równe
  3. Cma wszystkie boki równe
  4. Dma dwie pary boków równoległych
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Warunek na kąty — dla czworokąta wpisanego. Warunek na boki — dla opisanego.