Stereometria

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Kąt między prostą a płaszczyzną: kąt między prostą a jej rzutem na płaszczyznę.
2Kąt dwuścienny: między płaszczyznami, mierzony w płaszczyźnie prostopadłej do krawędzi.
3Przekroje brył: wyznacz punkty przecięcia płaszczyzny z krawędziami.
4Kula wpisana i opisana: promienie z przekrojów osiowych.

Przykład. Ostrosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy $6$ i wysokości $3\sqrt{2}$ . Połowa przekątnej podstawy: $3\sqrt{2}$ . Kąt nachylenia krawędzi bocznej: $\operatorname{tg}\alpha=\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=1$ , więc $45^\circ$ .

Ściana boczna. W tym samym ostrosłupie: $\operatorname{tg}\beta=\frac{H}{3}=\sqrt{2}$ .

Rysuj osobno trójkąty prostokątne, w których leży szukany kąt.

Ściąga

Nachylenie krawędzi bocznej: kąt między krawędzią a połową przekątnej podstawy
Nachylenie ściany bocznej: kąt między wysokością ściany a odcinkiem do środka krawędzi podstawy
Czworościan foremny: $V=\frac{a^{3}\sqrt{2}}{12}$

Typowe błędy

Mylenie kąta nachylenia krawędzi bocznej z kątem nachylenia ściany bocznej.
Błędny rzut wierzchołka na podstawę.
Pomylenie przekątnej podstawy z jej połową.

Przykładowe zadanie

Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma krawędź podstawy $6$ i wysokość $3\sqrt{2}$ . Kąt nachylenia krawędzi bocznej do podstawy ma miarę

A $45^\circ$
B $30^\circ$
C $60^\circ$
D $90^\circ$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Połowa przekątnej podstawy: $3\sqrt{2}=H$ , więc $\operatorname{tg}\alpha=1$ .