Przejdź do treści

Granica i ciągłość funkcji

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Granica funkcji w punkcie: wartość, do której zbliża się f(x)f(x), gdy x→x0x\to x_{0}.
  • 2Funkcja jest ciągła w x0x_{0}, gdy lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).
  • 3Symbol 00\frac{0}{0}: rozkładamy na czynniki i skracamy.
  • 4Granice jednostronne muszą być równe, żeby istniała granica.

Przykład. lim⁡x→3x2−9x−3\lim_{x\to 3}\frac{x^{2}-9}{x-3}: podstawienie daje 00\frac{0}{0}. Rozkład: (x−3)(x+3)x−3=x+3→6\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3\to 6.

Ciągłość z parametrem. f(x)={x2,x<1ax+1,x≥1f(x)=\begin{cases}x^{2}, & x<1\\ ax+1, & x\ge 1\end{cases} jest ciągła, gdy 1=a+11=a+1, czyli a=0a=0.

Ściąga

Ciągłość
lim⁡x→x0f(x)=f(x0)\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0})
Symbol 0/0
lim⁡x→2x2−4x−2=lim⁡(x+2)=4\lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\lim(x+2)=4
Granica jednostronna
lim⁡x→x0−\lim_{x\to x_{0}^{-}}, lim⁡x→x0+\lim_{x\to x_{0}^{+}}

Typowe błędy

  • Uznanie, że granica nie istnieje, bo podstawienie daje 00\frac{0}{0}.
  • Brak sprawdzenia granic jednostronnych dla funkcji „sklejanej”.
  • Mylenie ciągłości z różniczkowalnością.

Przykładowe zadanie

Granica lim⁡x→0+1x\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x} jest równa

  1. A+∞+\infty
  2. B−∞-\infty
  3. C00
  4. D11
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Dla małych dodatnich xx ułamek rośnie nieograniczenie.