Przejdź do treści

Pochodna funkcji

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Pochodna f′(x0)f'(x_{0}) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w punkcie x0x_{0}.
  • 2Wzory: (xn)′=nxn−1(x^{n})'=nx^{n-1}, (c)′=0(c)'=0, (f+g)′=f′+g′(f+g)'=f'+g', (cf)′=cf′(cf)'=cf'.
  • 3Iloczyn i iloraz: (fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg', (fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}.
  • 4f′>0f'>0 — funkcja rośnie; f′<0f'<0 — maleje; ekstremum tam, gdzie f′f' zmienia znak.

Przykład. f(x)=x3−3xf(x)=x^{3}-3x: f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1). f′f' zmienia znak z ++ na −- w x=−1x=-1 (maksimum f(−1)=2f(-1)=2) i z −- na ++ w x=1x=1 (minimum f(1)=−2f(1)=-2).

Styczna. Do f(x)=x2f(x)=x^{2} w punkcie x0=3x_{0}=3: f′(3)=6f'(3)=6, f(3)=9f(3)=9, więc y=6(x−3)+9=6x−9y=6(x-3)+9=6x-9.

Ściąga

Potęga
(xn)′=nxn−1(x^{n})'=nx^{n-1}
Iloczyn
(fg)′=f′g+fg′(fg)'=f'g+fg'
Iloraz
(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}
Styczna
y=f′(x0)(x−x0)+f(x0)y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

Typowe błędy

  • Uznanie każdego f′(x)=0f'(x)=0 za ekstremum (musi być zmiana znaku).
  • Zły wzór na pochodną ilorazu (kolejność w liczniku).
  • Równanie stycznej bez wartości f(x0)f(x_{0}).

Przykładowe zadanie

Pochodna funkcji f(x)=(x2+1)(x−3)f(x)=(x^{2}+1)(x-3) jest równa

  1. A3x2−6x+13x^{2}-6x+1
  2. B2x(x−3)2x(x-3)
  3. C2x2x
  4. D3x2+13x^{2}+1
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

2x(x−3)+(x2+1)=3x2−6x+12x(x-3)+(x^{2}+1)=3x^{2}-6x+1.