Przejdź do treści

Optymalizacja

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Wybierz zmienną, wyraź wielkość optymalizowaną jako funkcję jednej zmiennej.
  • 2Ustal dziedzinę z warunków zadania (np. długości dodatnie).
  • 3Znajdź ekstremum pochodną i sprawdź, czy to szukane maksimum lub minimum (zmiana znaku f′f' albo wartości na końcach dziedziny).
  • 4Odpowiedz na pytanie z treści, z jednostkami.

Przykład. Z drutu o długości 4040 cm robimy prostokąt o największym polu. Boki xx i 20−x20-x, x∈(0,20)x\in(0,20). P(x)=x(20−x)=20x−x2P(x)=x(20-x)=20x-x^{2}, P′(x)=20−2x=0P'(x)=20-2x=0 dla x=10x=10; P′P' zmienia znak z ++ na −-, więc to maksimum. Kwadrat 10×1010\times 10, pole 100 cm2100\ \text{cm}^{2}.

Pudełko. Z kwadratu 12×1212\times 12 wycinamy w rogach kwadraty x×xx\times x: V(x)=x(12−2x)2V(x)=x(12-2x)^{2}, x∈(0,6)x\in(0,6); maksimum dla x=2x=2, V=128V=128.

Ściąga

Plan
zmienna → funkcja → dziedzina → f′=0f'=0 → znak f′f' → odpowiedź
Prostokąt o obwodzie L
największe pole ma kwadrat

Typowe błędy

  • Brak dziedziny — punkt krytyczny poza nią.
  • Pomylenie maksimum z minimum.
  • Podanie wartości zmiennej zamiast szukanej wielkości (lub odwrotnie).

Przykładowe zadanie

Najmniejsza wartość funkcji f(x)=x2−4x+7f(x)=x^{2}-4x+7 w przedziale [0, 5][0,\ 5] jest równa

  1. A33
  2. B77
  3. C1212
  4. D00
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Wierzchołek x=2x=2 w przedziale: f(2)=3f(2)=3; na końcach 77 i 1212.