Kombinatoryka

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Kombinacje: $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ ; własność $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$ .
2Permutacje z powtórzeniami: $\frac{n!}{n_{1}!n_{2}!\ldots}$ (np. anagramy słowa z powtarzającymi się literami).
3Zasada włączeń i wyłączeń: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ .
4Rozmieszczenia: ustal, czy obiekty i miejsca są rozróżnialne.

Anagramy. Słowo MAMA ma $\frac{4!}{2!2!}=6$ różnych ustawień liter.

Wybór z warunkiem. Z $6$ chłopców i $4$ dziewcząt wybieramy $3$ osoby, w tym co najmniej jedną dziewczynę: $\binom{10}{3}-\binom{6}{3}=120-20=100$ .

Włączenia i wyłączenia. Liczb od $1$ do $100$ podzielnych przez $2$ lub $3$ : $50+33-16=67$ .

Ściąga

Kombinacje: $\binom{n}{k}$
Permutacje z powtórzeniami: $\frac{n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!}$
Włączenia i wyłączenia: $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$

Typowe błędy

Liczenie układów z powtórzeniami jak różnych.
Pomylenie wyboru z ustawieniem.
Podwójne liczenie przypadków przy sumowaniu.

Przykładowe zadanie

Liczba $\binom{10}{8}$ jest równa

A $45$
B $90$
C $80$
D $10$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\binom{10}{8}=\binom{10}{2}=45$ .