Prawdopodobieństwo warunkowe

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1 $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ — prawdopodobieństwo $A$ , gdy wiadomo, że zaszło $B$ .
2Zdarzenia niezależne: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$ .
3Prawdopodobieństwo całkowite: $P(A)=\sum P(A\mid B_{i})P(B_{i})$ .
4Drzewka pomagają przy doświadczeniach wieloetapowych.

Przykład. Rzut kostką. Wiadomo, że wypadła liczba parzysta. Prawdopodobieństwo, że to $6$ : $P=\frac{1}{3}$ (z trzech możliwych: $2, 4, 6$ ).

Całkowite. Urna I: $2$ białe i $3$ czarne, urna II: $4$ białe i $1$ czarna. Rzut monetą wybiera urnę. $P(\text{biała})=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5}=\frac{3}{5}$ .

Ściąga

Warunkowe: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
Niezależność: $P(A\cap B)=P(A)P(B)$
Całkowite: $P(A)=\sum_{i}P(A\mid B_{i})P(B_{i})$

Typowe błędy

Mylenie $P(A\mid B)$ z $P(B\mid A)$ .
Uznanie zdarzeń rozłącznych za niezależne.
Pominięcie gałęzi w drzewku.

Przykładowe zadanie

Rzucamy kostką. Wiadomo, że wypadła liczba parzysta. Prawdopodobieństwo, że jest to $6$ , wynosi

A $\frac{1}{3}$
B $\frac{1}{6}$
C $\frac{1}{2}$
D $\frac{2}{3}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Z trzech wyników parzystych sprzyja jeden.