Przejdź do treści

Schemat Bernoullego

Matematyka · poziom rozszerzony · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Schemat Bernoulliego: nn niezależnych prób, w każdej sukces z prawdopodobieństwem pp.
  • 2Prawdopodobieństwo dokładnie kk sukcesów: Pn(k)=(nk)pk(1−p)n−kP_{n}(k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • 3„Co najmniej jeden sukces”: 1−(1−p)n1-(1-p)^{n}.
  • 4Próby muszą być niezależne i mieć to samo pp.

Przykład. Rzucamy 44 razy monetą. Prawdopodobieństwo dokładnie 22 orłów: (42)(12)4=616=38\binom{4}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.

Kostka. Rzucamy 33 razy. Co najmniej jedna szóstka: 1−(56)3=1−125216=912161-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}.

W schemacie liczy się liczba sukcesów, a (nk)\binom{n}{k} to liczba sposobów ich rozmieszczenia.

Ściąga

Dokładnie k sukcesów
(nk)pkqn−k\binom{n}{k}p^{k}q^{n-k}, q=1−pq=1-p
Co najmniej jeden
1−qn1-q^{n}
Same sukcesy
pnp^{n}

Typowe błędy

  • Pominięcie (nk)\binom{n}{k}.
  • Zamiana pp i 1−p1-p.
  • Stosowanie schematu dla losowania bez zwracania.

Przykładowe zadanie

Rzucamy 44 razy monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie 22 orłów wynosi

  1. A38\frac{3}{8}
  2. B14\frac{1}{4}
  3. C12\frac{1}{2}
  4. D116\frac{1}{16}
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

(42)⋅116=616\binom{4}{2}\cdot\frac{1}{16}=\frac{6}{16}.