Funkcja kwadratowa

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Postać ogólna $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , $a\neq 0$ . Wykres to parabola.
2 $a>0$ : ramiona w górę, funkcja ma najmniejszą wartość. $a<0$ : ramiona w dół, ma największą.
3Wierzchołek $W=(p,q)$ : $p=-\frac{b}{2a}$ , $q=f(p)$ albo $q=-\frac{\Delta}{4a}$ .
4Postać kanoniczna $f(x)=a(x-p)^{2}+q$ od razu pokazuje wierzchołek.

Najwięcej informacji o paraboli daje wierzchołek. Dla $f(x)=x^{2}-6x+5$ : $p=-\frac{-6}{2}=3$ , $q=f(3)=9-18+5=-4$ . Wierzchołek to $(3,-4)$ , a ramiona idą w górę, więc najmniejsza wartość funkcji to $-4$ , a zbiór wartości $[-4,\infty)$ .

Monotoniczność. Przy $a>0$ funkcja maleje na $(-\infty,p]$ i rośnie na $[p,\infty)$ . Przy $a<0$ odwrotnie.

Wartość najmniejsza i największa na przedziale. Liczymy wartości na końcach przedziału i w wierzchołku, jeśli wierzchołek należy do przedziału. Wybieramy najmniejszą i największą z nich.

Oś symetrii przechodzi przez środek między miejscami zerowymi: dla miejsc $1$ i $5$ to $x=3$ .

Ściąga

Wierzchołek: $p=-\frac{b}{2a},\ q=-\frac{\Delta}{4a}$
Postać kanoniczna: $f(x)=a(x-p)^{2}+q$
Postać iloczynowa: $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$
Oś symetrii: $x=p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}$

Typowe błędy

Zły znak $p$ : dla $f(x)=(x+2)^{2}-1$ wierzchołek to $(-2,-1)$ , a nie $(2,-1)$ .
Szukanie najmniejszej wartości na przedziale tylko w wierzchołku, gdy wierzchołek leży poza przedziałem.
Pomylenie $q$ z wyrazem wolnym $c$ .

Przykładowe zadanie

Wierzchołek paraboli $y=(x+2)^{2}-1$ ma współrzędne

A $(-2,\ -1)$
B $(2,\ -1)$
C $(-2,\ 1)$
D $(2,\ 1)$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

W postaci kanonicznej $a(x-p)^{2}+q$ : $x+2=x-(-2)$ , więc $p=-2$ , $q=-1$ .