Funkcja liniowa

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Wzór: $f(x)=ax+b$ . Wykres to prosta.
2 $a$ to współczynnik kierunkowy: $a>0$ funkcja rośnie, $a<0$ maleje, $a=0$ jest stała.
3 $b$ to wyraz wolny: wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0,b)$ .
4Proste są równoległe, gdy mają ten sam $a$ , a prostopadłe, gdy $a_{1}\cdot a_{2}=-1$ .

Funkcja liniowa opisuje stałe tempo zmian. Współczynnik $a$ mówi, o ile zmienia się $y$ , gdy $x$ rośnie o $1$ .

Prosta przez dwa punkty. Dla $A=(1,3)$ i $B=(3,7)$ : $a=\frac{7-3}{3-1}=2$ . Podstawiamy punkt $A$ : $3=2\cdot 1+b$ , więc $b=1$ . Wzór: $y=2x+1$ .

Prosta równoległa. Prosta równoległa do $y=-3x+5$ przechodząca przez $(0,2)$ ma ten sam współczynnik $a=-3$ , więc $y=-3x+2$ .

Prosta prostopadła. Do $y=2x-1$ prostopadła ma $a=-\frac{1}{2}$ .

Ściąga

Współczynnik kierunkowy: $a=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$
Miejsce zerowe: $x_{0}=-\frac{b}{a}$
Równoległość: $a_{1}=a_{2}$
Prostopadłość: $a_{1}\cdot a_{2}=-1$

Typowe błędy

Wyznaczanie $a$ jako $\frac{x_{2}-x_{1}}{y_{2}-y_{1}}$ , czyli odwrotnie.
Mylenie miejsca zerowego $-\frac{b}{a}$ z wyrazem wolnym $b$ .
Uznanie prostych $y=2x$ i $y=-2x$ za prostopadłe: $2\cdot(-2)=-4\neq -1$ .

Przykładowe zadanie

Funkcja liniowa $f(x)=(m-3)x+2$ jest rosnąca dla

A $m>3$
B $m<3$
C $m=3$
D $m>-3$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

Funkcja liniowa rośnie, gdy współczynnik kierunkowy jest dodatni: $m-3>0$ , czyli $m>3$ .