Funkcja wykładnicza

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Wzór: $f(x)=a^{x}$ , gdzie $a>0$ i $a\neq 1$ .
2 $a>1$ : funkcja rosnąca. $0<a<1$ : funkcja malejąca.
3Wykres zawsze przechodzi przez punkt $(0,1)$ i leży nad osią $Ox$ : wartości są dodatnie.
4Zbiór wartości: $(0,\infty)$ . Funkcja nie ma miejsc zerowych.

Funkcja wykładnicza rośnie (albo maleje) coraz szybciej. Przy $a=2$ każdy krok o $1$ w prawo podwaja wartość: $2^{0}=1$ , $2^{1}=2$ , $2^{2}=4$ , $2^{3}=8$ .

Równania wykładnicze rozwiązujemy, sprowadzając obie strony do tej samej podstawy. $3^{x+1}=27$ zapisujemy jako $3^{x+1}=3^{3}$ , więc $x+1=3$ , $x=2$ .

Przesunięcia. Wykres $y=2^{x}-3$ to wykres $2^{x}$ przesunięty o $3$ w dół. Zbiór wartości przesuwa się razem z nim: $(-3,\infty)$ , a asymptota pozioma to $y=-3$ .

Funkcja wykładnicza opisuje m.in. procent składany i rozpad promieniotwórczy.

Ściąga

Punkt stały: $a^{0}=1\Rightarrow (0,1)$
Zbiór wartości: $a^{x}>0$
Równanie wykładnicze: $a^{x}=a^{y}\iff x=y$
Odwrotność podstawy: $\left(\frac{1}{a}\right)^{x}=a^{-x}$

Typowe błędy

Uznanie, że $2^{x}$ może być ujemne albo równe zeru.
Przy przesunięciu $y=2^{x}-3$ zbiór wartości to $(-3,\infty)$ , a nie $(0,\infty)$ .
Mylenie $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ z $2^{-x}$ : to ta sama funkcja.

Przykładowe zadanie

Wykres funkcji $f(x)=5^{x}$ przechodzi przez punkt

A $(0,\ 1)$
B $(1,\ 0)$
C $(0,\ 5)$
D $(0,\ 0)$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$f(0)=5^{0}=1$ . Każda funkcja $a^{x}$ przechodzi przez $(0,1)$ .