Logarytmy

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1 $\log_{a}b=c$ znaczy dokładnie $a^{c}=b$ . To pytanie: do jakiej potęgi podnieść $a$ , żeby dostać $b$ ?
2Podstawa: $a>0$ i $a\neq 1$ . Liczba logarytmowana: $b>0$ .
3Suma logarytmów to logarytm iloczynu, różnica to logarytm ilorazu.
4 $\log$ bez podstawy to logarytm dziesiętny: $\log 100=2$ .

Logarytm odwraca potęgowanie. Skoro $2^{5}=32$ , to $\log_{2}32=5$ . Większość zadań maturalnych z logarytmów sprowadza się do zapisania liczby jako potęgi podstawy.

Jak liczyć w pamięci. Zapisz liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy:

$\log_{3}\frac{1}{9}=\log_{3}3^{-2}=-2,\qquad \log_{4}8=\log_{4}4^{\frac{3}{2}}=\frac{3}{2}$

Wzory działają w obie strony. $\log_{6}4+\log_{6}9$ możesz zwinąć do $\log_{6}36=2$ . Odwrotnie, $\log_{3}(9x)$ rozwijasz do $2+\log_{3}x$ . Szukaj kierunku, który prowadzi do liczby całkowitej.

Współczynnik przed logarytmem przenosisz do wykładnika: $2\log_{5}3=\log_{5}9$ . Dopiero wtedy możesz łączyć logarytmy w jeden.

Szacowanie. Gdy wynik nie jest całkowity, znajdź dwie sąsiednie potęgi: $2^{3}=8<10<16=2^{4}$ , więc $3<\log_{2}10<4$ . To wystarcza w zadaniach na porównywanie liczb.

Ściąga

Definicja: $\log_{a}b=c\iff a^{c}=b$
Logarytm iloczynu: $\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y$
Logarytm ilorazu: $\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y$
Logarytm potęgi: $\log_{a}x^{k}=k\log_{a}x$
Zmiana podstawy: $\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}$
Wartości stałe: $\log_{a}1=0,\ \log_{a}a=1$

Typowe błędy

Logarytm sumy rozbity na sumę: $\log_{2}(4+4)\neq\log_{2}4+\log_{2}4$ .
Dodawanie logarytmów o różnych podstawach jednym wzorem.
Przyjęcie ujemnej podstawy, np. $a=-3$ , gdy $a^{4}=81$ .

Przykładowe zadanie

Liczba $\log_{2}32$ jest równa

A $5$
B $16$
C $6$
D $\frac{1}{5}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\log_{2}32=c$ oznacza $2^{c}=32$ . Ponieważ $2^{5}=32$ , to $c=5$ .