Otwórz aplikację

Wartość bezwzględna

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1 $|x|$ to odległość liczby $x$ od zera na osi liczbowej, więc nigdy nie jest ujemna.
2 $|x|=x$ dla $x\ge 0$ oraz $|x|=-x$ dla $x<0$ .
3 $|x-a|$ to odległość między $x$ a $a$ . Stąd $|x-a|<r$ to przedział $(a-r,\ a+r)$ .
4Równanie $|x|=c$ ma dwa rozwiązania dla $c>0$ , jedno dla $c=0$ i żadnego dla $c<0$ .

Najprościej myśleć o wartości bezwzględnej jako o odległości. Liczby $5$ i $-5$ leżą tak samo daleko od zera, więc $|5|=|-5|=5$ .

Ta sama myśl rozwiązuje równania i nierówności. Zapis $|x-2|=3$ czytamy: „ $x$ jest odległe od $2$ o $3$ ”. Na osi od punktu $2$ idziemy o $3$ w prawo i w lewo: $x=5$ albo $x=-1$ .

Nierówność $|x-2|<3$ to punkty bliżej niż $3$ od liczby $2$ , czyli przedział $(-1,5)$ . Nierówność $|x-2|\ge 3$ to wszystko poza tym przedziałem: $x\le -1$ lub $x\ge 5$ .

Pierwiastek z kwadratu. Dla każdej liczby $\sqrt{x^{2}}=|x|$ . Dlatego $\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}=|1-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-1$ , bo $1-\sqrt{3}<0$ .

Ściąga

Definicja: $|x|=\begin{cases}x, & x\ge 0\\ -x, & x<0\end{cases}$
Równanie: $|x-a|=r\iff x=a-r\ \lor\ x=a+r$
Nierówność „mniejsze”: $|x-a|<r\iff a-r<x<a+r$
Nierówność „większe”: $|x-a|>r\iff x<a-r\ \lor\ x>a+r$
Iloczyn i iloraz: $|xy|=|x|\cdot|y|,\ \left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$

Typowe błędy

Zapis $|-x|=x$ dla każdego $x$ . Prawdziwe jest $|-x|=|x|$ .
Zgubienie drugiego rozwiązania: z $|x-3|=5$ wychodzi $x=8$ lub $x=-2$ .
Pomylenie kierunku: $|x|>2$ to $x<-2$ lub $x>2$ , a nie przedział $(-2,2)$ .

Przykładowe zadanie

Liczba $|1-\sqrt{3}|$ jest równa

A $\sqrt{3}-1$
B $1-\sqrt{3}$
C $1+\sqrt{3}$
D $-1-\sqrt{3}$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$\sqrt{3}\approx 1{,}73$ , więc $1-\sqrt{3}<0$ .
Wartość bezwzględna liczby ujemnej to liczba przeciwna: $|1-\sqrt{3}|=-(1-\sqrt{3})=\sqrt{3}-1$ .