Przejdź do treści

Okrąg i koło

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1Obwód koła (długość okręgu): L=2πrL=2\pi r. Pole koła: P=πr2P=\pi r^{2}.
  • 2Kąt wpisany jest połową kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
  • 3Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.
  • 4Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia poprowadzonego do punktu styczności.

Wzory na obwód i pole koła zależą od promienia. Gdy zadanie podaje średnicę, najpierw ją podziel na pół.

Kąty w okręgu. Kąt środkowy ma wierzchołek w środku okręgu, kąt wpisany na okręgu. Oparte na tym samym łuku spełniają α=12β\alpha=\frac{1}{2}\beta: kąt środkowy 100∘100^\circ daje kąt wpisany 50∘50^\circ. Szczególny przypadek: kąt wpisany oparty na średnicy ma 90∘90^\circ.

Wycinek. Wycinek koła o promieniu 66 i kącie 60∘60^\circ to 60360=16\frac{60}{360}=\frac{1}{6} koła, więc jego pole to 16⋅36π=6π\frac{1}{6}\cdot 36\pi=6\pi.

Ściąga

Długość okręgu
L=2πrL=2\pi r
Pole koła
P=πr2P=\pi r^{2}
Kąt wpisany i środkowy
α=12β\alpha=\frac{1}{2}\beta
Wycinek koła
P=α360∘πr2P=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^{2}
Długość łuku
l=α360∘⋅2πrl=\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot 2\pi r

Typowe błędy

  • Wstawienie średnicy zamiast promienia do wzoru na pole.
  • Odwrócenie zależności: kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego.
  • Pole wycinka bez proporcji kąta: P=α360∘πr2P=\frac{\alpha}{360^\circ}\pi r^{2}.

Przykładowe zadanie

Pole koła o średnicy 1010 jest równe

  1. A25π25\pi
  2. B100π100\pi
  3. C10π10\pi
  4. D50π50\pi
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

  1. r=5r=5.
  2. P=π⋅52=25πP=\pi\cdot 5^{2}=25\pi.

Typowy błąd: 100π100\pi, czyli wzór ze średnicą zamiast promienia.