Trójkąty

Matematyka · poziom podstawowy · Matura · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

1Suma kątów w trójkącie to $180^\circ$ .
2Twierdzenie Pitagorasa (trójkąt prostokątny): $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ , gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
3Pole: $P=\frac{1}{2}ah$ , a także $P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$ .
4Trójkąt równoboczny o boku $a$ : wysokość $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ , pole $\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$ .

Większość zadań z trójkątami rozwiązuje się trzema narzędziami: sumą kątów, twierdzeniem Pitagorasa i wzorem na pole.

Pitagoras. Trójkąt o przyprostokątnych $6$ i $8$ ma przeciwprostokątną $\sqrt{36+64}=10$ . Warto pamiętać popularne trójki: $(3,4,5)$ , $(5,12,13)$ , $(8,15,17)$ .

Pole z sinusem. Gdy znamy dwa boki i kąt między nimi: boki $4$ i $6$ , kąt $30^\circ$ , pole $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot\frac{1}{2}=6$ .

Trójkąt równoboczny. Wysokość dzieli go na dwa trójkąty $30^\circ$ , $60^\circ$ , $90^\circ$ . Dla boku $6$ : $h=3\sqrt{3}$ , pole $9\sqrt{3}$ .

Ściąga

Pitagoras: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
Pole: $P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ab\sin\gamma$
Trójkąt równoboczny: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2},\ P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Nierówność trójkąta: $a+b>c$
Trójkąt 30°, 60°, 90°: $a,\ a\sqrt{3},\ 2a$

Typowe błędy

Pitagoras z przeciwprostokątną po złej stronie: $c$ jest zawsze najdłuższym bokiem.
Wysokość opuszczona na inny bok niż ten, który bierzemy jako podstawę.
Nierówność trójkąta: boki $2, 3, 6$ nie tworzą trójkąta, bo $2+3<6$ .

Przykładowe zadanie

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość $13$ , a jedna przyprostokątna $5$ . Druga przyprostokątna ma długość

A $12$
B $8$
C $\sqrt{194}$
D $18$

Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

$b=\sqrt{13^{2}-5^{2}}=\sqrt{144}=12$ .

Typowy błąd: dodanie kwadratów, choć $13$ to przeciwprostokątna.