Przejdź do treści

Pierwiastki

Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · aktualizacja 2026-10-27 · czeka na sprawdzenie przez redakcję

Najważniejsze w 30 sekund

  • 1a\sqrt{a} to liczba nieujemna, której kwadrat jest równy aa: 49=7\sqrt{49}=7.
  • 2a3\sqrt[3]{a} to liczba, której sześcian jest równy aa: −83=−2\sqrt[3]{-8}=-2.
  • 3Iloczyn pierwiastków to pierwiastek z iloczynu: a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}.
  • 4Wyłączanie czynnika: 50=25⋅2=52\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}.

Pierwiastek odwraca potęgowanie. Skoro 62=366^{2}=36, to 36=6\sqrt{36}=6.

Szacowanie. 30\sqrt{30} leży między 55 a 66, bo 25<30<3625<30<36. To częste zadanie na egzaminie.

Działania. 2⋅8=16=4\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}=\sqrt{16}=4. Dodawać można tylko te same pierwiastki: 35+25=553\sqrt{5}+2\sqrt{5}=5\sqrt{5}.

Pierwiastek sześcienny istnieje też dla liczb ujemnych: −273=−3\sqrt[3]{-27}=-3, bo (−3)3=−27(-3)^{3}=-27.

Ściąga

Iloczyn
a⋅b=ab\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}
Iloraz
ab=ab\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}
Kwadrat pierwiastka
(a)2=a(\sqrt{a})^{2}=a
Wyłączanie czynnika
a2b=ab\sqrt{a^{2}b}=a\sqrt{b}

Typowe błędy

  • a+b=a+b\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}: to nieprawda, np. 9+16=5≠7\sqrt{9+16}=5\neq 7.
  • Pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej (w liczbach rzeczywistych nie istnieje).
  • Dodawanie różnych pierwiastków: 2+3≠5\sqrt{2}+\sqrt{3}\neq\sqrt{5}.

Przykładowe zadanie

Liczba 30\sqrt{30} leży między liczbami

  1. A55 i 66
  2. B44 i 55
  3. C66 i 77
  4. D1515 i 1616
Pokaż rozwiązanie

Odpowiedź A.

  1. Szukamy kwadratów liczb całkowitych wokół 3030: 52=255^{2}=25 i 62=366^{2}=36.
  2. Skoro 25<30<3625<30<36, to 5<30<65<\sqrt{30}<6.